Beaucoup d’observateurs ont souligné ces derniers mois qu’aucun des deux candidats à la présidence des Etats-Unis ne déchaîne l’enthousiasme des électeurs, voire que chacun d’eux suscite à sa manière une part de répulsion chez beaucoup d’Américains. D’où vient que les primaires démocrates et républicaines aient sélectionné des candidats finalement aussi peu populaires ? se demandent Michel Balinski et Rida Laraki dans leur article pour notre blog. Leur réponse est assez simple : la cause de cette méprise réside dans le scrutin majoritaire lui-même, auquel ils proposent de substituer la méthode de vote du « jugement majoritaire ».

Terra Nova a déjà eu l’occasion de soutenir cette proposition dans de précédents travaux, notamment dans le cadre des primaires françaises [1]. L’intérêt de la présente contribution – publiée en anglais le 9 mai dernier dans le magazine en ligne américain The Conversation sous le titre original« Trump and Clinton victorious : proof that the US voting system doesn’t work »– est de s’appuyer sur les données d’un sondage réalisé il y a huit mois, sondage qui simulait sans le vouloir un « jugement majoritaire ». L’analyse de ces données tend à prouver que l’affrontement que les électeurs américains auraient voulu pouvoir arbitrer dans quelques jours aurait dû opposer, non pas Donald Trump et Hillary Clinton, mais… John Kasich et Bernie Sanders ! Explication d’un nouveau rendez-vous manqué…

Terra Nova

♦ Les auteurs : Michel Balinski est mathématicien et directeur de recherche de classe exceptionnelle (emeritus) au CNRS et enseigne à l’Ecole Polytechnique à l’Université Paris-Saclay. Rida Lakari est mathématicien, directeur de recherche du CNRS au LAMSADE (Université Paris Dauphine) et professeur à l’Ecole Polytechnique.

Après avoir survécu à tous ses adversaires à la primaire, Trump a été intronisé candidat du Parti républicain. Hillary Clinton, quant à elle, a presque verrouillé la nomination du Parti démocrate.

Clinton et Trump ont peut-être remporté les primaires, mais sont-ils vraiment représentatifs de ce que veut le peuple américain ? En réalité, ce sont plutôt John Kasich et Bernie Sanders qui remportaient le vote d’estime. Trump et Clinton étaient en dernière position.

Qu’est-ce qui a conduit à ce résultat ? Les médias ont joué un rôle clé dans ce processus, bien sûr, mais le fait que les Américains devront choisir en novembre entre Trump et Clinton est le résultat de la méthode électorale absurde utilisée dans ces primaires : le scrutin majoritaire.

La critique est certes virulente. Mais, mathématiciens, ayant passé les douze dernières années à étudier les systèmes de vote, nous allons démontrer en quoi celle-ci est justifiée, et comment résoudre ce problème.

Le problème du scrutin majoritaire

Avec le scrutin majoritaire, les votants cochent au plus le nom d’un candidat, et le nombre de coches détermine le gagnant et l’ordre d’arrivée. Ce système est utilisé à travers les Etats-Unis (et dans beaucoup d’autres pays) afin d’élire les présidents comme les sénateurs, les députés et les gouverneurs.

Mais il a souvent échoué à élire le candidat préféré par la majorité des votants. En 2000, par exemple, George W. Bush fut élu président à cause de la candidature de Ralph Nader. Lors du vote très contesté de Floride, Bush obtint 2 912 790 voix, Al Gore 2 912 253 (à peine 537 de moins) et Nader 97 488 voix. Il y a peu de doutes que la large majorité de ceux qui votèrent pour Nader, et qui le préféraient aux autres, préféraient aussi Gore à Bush. S’ils avaient pu réellement s’exprimer, Gore aurait remporté le scrutin avec 291 voix du « Electoral College » contre 246 pour Bush. Des dysfonctionnements similaires ont eu lieu en France.

Imaginez combien les Etats-Unis et le monde auraient été différents aujourd’hui si Gore avait gagné.

Les primaires de 2016

Un examen rapide des primaires américaines et des réunions de partis qui se sont tenus avant le 1er mars montre qu’alors que Trump était présumé vainqueur, il réunissait environ 40% des voix. Mais rien dans ce résultat ne permettait de prendre en compte les opinions des 60% de votants ayant voté pour un autre candidat.

Comme Trump est un candidat particulièrement clivant, il est raisonnable de supposer que la majeure partie des électeurs, ou au moins la plupart d’entre eux, s’opposaient très franchement à lui. Toutefois les médias se sont focalisés sur la personne qui obtenait les plus gros suffrages – c’est-à-dire Trump. Du côté démocrate, l’attention des médias s’est aussi polarisée sur la seule personne d’Hillary Clinton, en ignorant Bernie Sanders, jusqu’à ce qu’une vague enthousiaste de soutien pour lui les force à détourner le regard.

La source du problème

Une élection n’est rien d’autre qu’une invention pour mesurer le soutien populaire des candidats, les ranger en fonction de celui-ci, et à proclamer gagnant celui qui arrive en tête de ce classement. Le problème est que le scrutin majoritaire le fait très mal.

Avec le scrutin majoritaire, les électeurs ne peuvent pas exprimer leur opinion sur tous les candidats. Ils sont cantonnés au soutien d’un seul candidat, à l’exclusion de tous les autres.

Bush a battu Gore parce que les électeurs de Nader ont été incapables de peser dans la balance. En outre, comme nous le démontrerons ensuite, le scrutin majoritaire peut faire le mauvais choix même quand seulement deux candidats sont en lice.

Il est essentiel de permettre aux électeurs d’exprimer les nuances de leurs opinions lors d’un vote.

Que faut-il faire ? Adopter le jugement majoritaire

Le jugement majoritaire est un nouveau mode de scrutin que nous avons spécifiquement conçu afin d’éviter les écueils des modes de scrutin traditionnels.

Cette méthode demande aux électeurs d’exprimer leurs opinions de façon bien plus précise qu’en désignant un seul candidat. Le bulletin de vote offre un éventail de choix et confronte l’électeur à une charge solennelle :

« Pour présider les USA, ayant pris tous les éléments en compte, je juge en conscience que ce candidat serait : un Excellent président / un Bon Président / un Président moyen / un Président médiocre / un Très mauvais président »

Pour voir comment le jugement majoritaire classe les candidats, examinons de près des résultats spécifiques.

Nous avons eu la chance de découvrir sur Internet que la question ci-dessus avait été posée dans un sondage du Pew Research Center en mars 2016 [2] à 1787 votants inscrits, de toutes tendances politiques (il faut ici souligner que ni les votants, ni les sondeurs n’étaient au courant que ces réponses pourraient servir de base à un mode de scrutin). Ce sondage offrait aussi l’option d’une réponse « Inconnu », ici interprétée comme pire que « très mauvais » car elle revient à admettre que le candidat n’existe pas sur l’échiquier politique.

Comme on peut le voir dans le tableau ci-dessous, les opinions des votants sont beaucoup plus détaillées que celles qui peuvent être exprimées avec le scrutin majoritaire. On remarque en particulier qu’un pourcentage relativement élevé de votants estiment que Clinton et surtout Trump feraient de piètres présidents (le sondage montre en effet que le score de « Très mauvais » attribué à Trump a augmenté de 6% depuis janvier 2016).

Le jugement majoritaire des candidats à l’élection présidentielle

Excellentprésident Bonprésident Présidentmoyen Présidentmédiocre Très mauvaisprésident Inconnu
John Kasich 5% 28% 39% 13% 7% 9%
Bernie Sanders 10% 26% 26% 15% 21% 3%
Ted Cruz 7% 22% 31% 17% 19% 4%
Hillary Clinton 11% 22% 20% 16% 30% 1%
Donal Trump 10% 16% 12% 15% 44% 3%

L’utilisation du jugement majoritaire afin d’établir un classement des candidats à partir de ces évaluations ou de ces mentions est facile. Commencez à chaque bout de l’échelle d’évaluation et additionnez les pourcentages jusqu’à ce qu’une majorité des opinions soit atteinte.

Prenons l’exemple de John Kasich : 5% estiment qu’il ferait « un excellent président », 5+28 = 33% pensent qu’il serait « un bon président » ou mieux, et 33+39 = 72% (soit la majorité) pensent qu’il serait un « président moyen » voire mieux. Depuis l’autre bout, 9% n’en ont jamais entendu parler, 9+7 = 16% pensent qu’il serait un « très mauvais président » voire pire, 16+13 = 29% qu’il serait « médiocre» ou pire, et 29+39 = 68% (une majorité) pensent qu’il serait «  moyen » ou pire.

Les deux modes de calcul aboutissent sur des majorités en faveur de la mention « moyen », donc la « mention majoritaire » de Kasich est « Président moyen » (mathématiquement, ces deux calculs – un commençant en haut de l’échelle, l’autre en bas – atteindront toujours la majorité sur la même mention).

Des calculs similaires montrent que Sanders, Clinton et Cruz ont tous la même mention majoritaire, « président moyen ». Quant à Trump sa mention-majoritaire est « président médiocre », ce qui fait de lui le dernier du classement.

Pour déterminer quel sera l’ordre de classement par le jugement majoritaire entre ces quatre candidats, il faut faire deux autres calculs.

Le premier est le pourcentage de votants qui ont mieux évalué un candidat que sa mention majoritaire ; le second le pourcentage de ceux qui ont moins bien jugé le candidat que sa mention majoritaire. Ces deux calculs permettent d’aboutir à un nombre qu’on appellera la « jauge ». Pour comprendre sa signification, imaginez une balance : dans certains cas, la majorité penche plus fortement vers une meilleure mention et dans d’autres, vers une mention pire.

Dans le cas de Kasich, 5+28 soit 33% l’ont évalué au dessus de « moyen », sa mention majoritaire, et 13+7+9 = 29% l’ont évalué en dessous. Comme le plus grand pourcentage est du côté positif, sa jauge est +33%. Pour Sanders, 36% ont jugé qu’il était au dessus de sa mention majoritaire et 39% en deçà : donc, le plus grand nombre étant du côté négatif, sa jauge est – 39%.

Un candidat est mieux classé qu’un autre quand sa mention majoritaire est meilleure, ou, en cas d’égalité des mentions majoritaires, quand sa jauge est meilleure (voir ci-dessous). Cette règle est déduite logiquement selon le principe que la majorité décide des mentions majoritaires et du classement des candidats au lieu du scrutin majoritaire qui classe les candidats en fonction du nombre de voix qu’ils obtiennent.

Classement du jugement majoritaire des candidats à l’élection présidentielle

Mention majoritaire Jauge
John Kasich Président moyen +33%
Bernie Sanders Président moyen 39%
Ted Cruz Président moyen 40%
Hillary Clinton Président moyen 47%
Donald Trump Président médiocre 47%

Quand les électeurs sont en mesure d’exprimer leur opinion sur chaque candidat – les bons comme les mauvais –, les résultats sont à l’opposé de ceux obtenus avec le scrutin majoritaire.

Ainsi, selon le jugement majoritaire, les candidats qui arrivent en tête des opinions sont en fait Kasich et Sanders. Clinton et Trump sont en bout de course. Cette nouvelle perspective prouve, une fois de plus, que les médias dominants ont porté beaucoup trop d’attention aux derniers et trop peu à ceux qui étaient véritablement appréciés par l’électorat.

Le jugement majoritaire est à cet égard très révélateur du peu d’égards que la société a pour les hommes politiques. Les cinq candidats sont le plus souvent jugés comme des Présidents « moyens » voire pires, et aucun ne ferait un « bon président » ou un « excellent président ».

Les défaillances du scrutin majoritaire avec deux candidats  (« le paradoxe de la dominance »)

Mais, pourrait-on objecter, comment le scrutin majoritaire avec uniquement deux candidats peut encore se tromper ? Cet échec irait à l’encontre de tout ce qu’on a appris depuis notre plus tendre enfance à l’école quand on levait sa main pour choisir un délégué de classe.

La raison pour laquelle le scrutin majoritaire peut être faillible même si seulement deux candidats sont en lice tient au fait qu’il n’existe pas suffisamment d’informations sur le degré réel de soutien pour chacun d’eux.

Un exemple en est le choix entre Clinton et Trump, dont on peut voir le classement d’après le sondage réalisé par le Pew Research Center dans le premier tableau ci-dessus.

Quand on aligne leur mentions de la plus à la moins élevées, ceux de Clinton surpassent ou sont égaux à ceux de Trump. 11% par exemple, estiment que Clinton serait « excellente » contre 10% pour Trump. Les mentions de Trump dépassent celles de Clinton uniquement quand ils sont « très mauvais » ou « inconnu ». En d’autres termes, les mentions de Clinton sont uniformément meilleures que celles de Trump, et il est clair que n’importe quel mode de scrutin décent doit classer Clinton devant Trump.

Pourtant, le scrutin majoritaire pourrait échouer à le faire.

Pour comprendre pourquoi, supposons que les bulletins du scrutin de Pew Research soient empilés sur une table. On pourrait les examiner un par un séparément. Certains bulletins classeraient Clinton « moyen » et Trump « mauvais », d’autres la verraient « bonne » et lui « excellent », et d’autres pourraient évaluer les deux dans les 36 combinaisons possibles. Nous pouvons ainsi trouver le pourcentage d’occurrences pour chaque combinaison possible de mentions attribuées à Trump et Clinton.

Nous n’avons pas eu accès à ces « bulletins ». Toutefois, on pourrait aboutir à beaucoup de scénarios différents où le pourcentage de bulletins individuels correspond parfaitement aux pourcentages attribués à chacun dans le premier tableau.

Parmi tous les scénarios possibles, nous en avons choisi un qui, en théorie, pourrait être le bon. En réalité, vous pouvez vérifier par vous-même qu’il accorde les bons pourcentages des mentions à chacun des candidats : par exemple, quand on lit de gauche à droite dans le tableau qui suit, Clinton obtient 10+12=22% de mentions « bonne », 16+4=20% de mentions « moyenne » et ainsi de suite : la même chose s’applique à Trump.

Que nous dit donc l’hypothétique répartition des bulletins de vote à propos de ces deux candidats ?

La première colonne sur la gauche indique que 10% des votants ont classé Clinton « bonne » et Trump « excellent ». Dans un scrutin majoritaire, ils voteraient pour Trump. Et quand on se déplace à la dixième colonne, 4% ont classé Clinton « médiocre » et Trump « très mauvais». Dans un scrutin majoritaire, ce groupe choisirait Clinton. Et ainsi de suite. 

10% 16% 12% 15% 13% 1%
Clinton Bonne Moyenne Médiocre Très mauvaise Très mauvaise Inconnue
Trump Excellent Bon Moyen Médiocre Très mauvaise Inconnu
11% 12% 4% 4% 2%
Clinton Excellente Bonne Moyenne Médiocre Très mauvaise
Trump Très mauvais Très mauvais Très mauvais Très mauvais Inconnu

Si vous additionnez les votes de chacune de ces onze colonnes, Trump recueille les voix des électeurs dont l’opinion se reflète dans les quatre premières colonnes : 10+16+12+15 soit 53%. Clinton a les faveurs de 33% des votants. 14% sont indécis. Même si ces indécis choisissaient Clinton, Trump remporterait la manche.

Ceci prouve que le scrutin majoritaire peut donner un résultat totalement absurde : une victoire triomphante de Trump alors que les mentions de Clinton dominent largement celles de Trump ! C’est le paradoxe de la dominance [3].

Le vote a fait l’objet de recherches mathématiques approfondies depuis les années 1950, quand l’économiste Kenneth Arrow publia son fameux « théorème d’impossibilité », une des deux contributions pour lesquelles le Prix Nobel d’économie lui fut décerné en 1972.

Ce théorème montre que si les électeurs avaient à classer les candidats – en d’autres termes, à désigner celui qu’il classe premier, puis celui qu’il classe second, et ainsi de suite – il y aurait inévitablement la possibilité d’un échec majeur pour une de deux raisons. Soit il n’y aurait aucun vainqueur à cause du « paradoxe de Condorcet », soit il y aurait le « paradoxe d’Arrow ».

Le paradoxe d’Arrow est connu des Américains, car il s’est produit en 2000. Bush a battu Gore car Nader était dans la course. Si Nader ne s’était pas présenté, Gore aurait gagné. Il est incontestablement absurde que le choix entre deux candidats dépende de la présence ou non d’un candidat qui n’a aucune chance de gagner !

Le jugement majoritaire résout le dilemme du théorème d’Arrow : les paradoxes de Condorcet et d’Arrow ne peuvent pas se produire. Pourquoi ? Des informations bien plus précises sont demandées aux électeurs : il faut évaluer les candidats dans une échelle plutôt que les classer.

Les règles du jugement majoritaire, entièrement basées sur le principe de la majorité, répondent aux principes démocratiques à la base de tout vote. Grâce à celles-ci :

  • Les électeurs peuvent mieux exprimer leurs opinions, donc les résultats sont basés sur beaucoup plus d’information qu’une voix accordée à un candidat.
  • Le processus de vote est simple, efficace et rapide – nous connaissons tous l’idée d’accorder des mentions depuis l’école primaire (comme le sondage du Pew Research Center le montre implicitement).
  • Des candidats avec des profils politiques similaires peuvent se lancer dans la course sans compromettre les chances de leurs concurrents – l’électeur est libre d’attribuer une très bonne (ou très mauvaise) évaluation à chacun d’entre eux.
  • Le candidat le mieux évalué par la majorité remporte le scrutin.
  • Le jugement majoritaire est le mode de scrutin le plus difficile à pervertir : des blocs d’électeurs qui tricheraient sur leur classement en donnant des opinions disproportionnées et tronquées ne peuvent avoir qu’une influence limitée sur les résultats.
  • En demandant davantage aux électeurs, et ainsi en respectant davantage leurs opinions, la participation est encouragée. Même un votant qui évalue tous les candidats au même niveau (tous par exemple « très mauvais ») peut avoir un impact sur le résultat.
  • Les mentions finales – les mentions majoritaires – permettent aux candidats et au public de comprendre comment l’électorat évalue chaque candidat.
    Si la majorité décide qu’aucun candidat n’est jugé « moyen » ou mieux, l’élection pourrait être annulée et une nouvelle élection amorcée avec d’autres candidats.
  • Le jugement majoritaire est une méthode pratique qui a été testée dans des élections et utilisée de nombreuses fois (pour choisir les lauréats de prix, des vins, des candidats pour des postes, etc.). Elle a également été proposée comme un nouveau mode de scrutin pour réformer le système français d’élection présidentielle  [4].

Réformer maintenant

Il n’est pas surprenant que seulement 35% des personnes interrogées aient répondu positivement à une question posée dans le sondage du Pew Research Center formulée ainsi : « Pensez-vous que les primaires ont été un bon outil pour qualifier les meilleurs candidats à l’élection présidentielle? » Les systèmes démocratiques, partout dans le monde, souffrent. Les électeurs protestent. Les citoyens ne votent plus. Les soutiens aux partis extrémistes ne cesse de croître. Une des causes sous-jacentes de ces phénomènes, nous en sommes convaincus, est le scrutin majoritaire et à son influence sur les médias. Induits en erreur par les résultats des primaires et des sondages, les médias concentrent leur attention sur les candidats qu’ils croient capables de dominer le scrutin, mais qui sont souvent loin d’être considérés comme acceptables par la majorité de l’électorat. Le jugement majoritaire surmonterait ces défauts.

[1] Voir notamment le rapport d’avril 2015 de Terra Nova, « Primaires : et si c’était à refaire ? »

[2] Pew Research Center March 2016 Political survey 

[3] Nde : On trouvera ici un exposé pédagogique sur les absurdités auxquelles le scrutin majoritaire peut conduire

[4] Nde : C’était la proposition portée par Olivier Ferrand en avril 2011

 

The Conversation